VI Escola de Física Jayme Tiomno



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Aplicação da Teoria de Topos aos Fundamentos Matemáticos da Teoria Quântica

Ministrante: Prof. Dr. Walter Pedra (DFMA-IFUSP)

Slideshows: Aulas 1 a 5.

Aulas gravadas: YouTube playlist

Formato: À distância.

Horário: 19 às 21h.

Dias: 08 a 12 de agosto.

Carga Horária Total: 10h

Descrição: O objetivo do minicurso é o de dar uma breve introdução à abordagem baseada na teoria de topos aos fundamentos matemáticos da teoria quântica, proposta por J. Butterfield e C. Isham. Além das aplicações originais aos fundamentos da mecânica quântica, versões desta abordagem têm sido aplicadas recentemente também a tópicos de teoria da informação quântica, como a contextualidade e a não localidade.

A abordagem é inspirada em ideias de Bohr, que defendia que o conteúdo empírico da mecânica quântica é somente acessível através da física clássica. Do ponto de vista da teoria de categorias, um topos é uma categoria que se assemelha à dos conjuntos, por vários aspectos. Com efeito, a categoria dos conjuntos é um dos exemplos mais importantes de topos, mas está longe de ser o único. Num topos geral existem, em particular, noções análogas às de “produto cartesiano”, de “conjunto de partes de um conjunto” e de “ponto num conjunto”. Mostraremos como construir um topos (mais exatamente, uma categoria de pré-feixes) a partir dos “contextos clássicos” de uma álgebra (não comutativa) de observáveis quânticos, e como definir o análogo do espaço de estados dentro deste topos.

Como aplicação concreta, mostraremos que, nesta abordagem, o famoso teorema de Kochen-Specker, um resultado central para os fundamentos da teoria quântica, se refere ao fato de o “espaço de estados” no topos associado aos contextos clássicos não possuir nenhum “ponto” (e mesmo assim ser “não vazio”, possuindo “partes” não triviais!). O minicurso conterá uma introdução à teoria de categorias focada nos fatos mais relevantes para a aplicação em questão, e o conhecimento prévio desta teoria não será visto como pré-requisito. A exposição será o mais elementar possível e de caráter somente introdutório, mas dará o subsídio necessário para que o aluno interessado em aprofundar-se no tema possa aventurar-se na literatura original.

Pré-requisitos: Álgebra Linear e Mecânica Quântica I.

Programa do curso:

  • Aula 1. Noções algébricas importantes: álgebras, *-álgebras, espectro de um elemento de álgebra, estados, álgebras comutativas, espectro de uma álgebra comutativa.

  • Aula 2. O teorema de Kochen-Specker (versão usual).

  • Aula 3. Introdução à teoria de categorias: noções elementares, funtores, transformações naturais e categorias de pré-feixes.

  • Aula 4. Categoria de matrizes autoadjuntas e uma versão categorial do teorema de K-S.

  • Aula 5. Pré-feixe espectral sobre contextos clássicos e K-S como ausência de pontos num espaço de estados.

Bibliografia:

Introdução à Teoria de Categorias :

  • F. W. Lawvere, S. H. Schanuel. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press, 2009.

  • S. Awodey. Category Theory. Oxford University Press, 2010.

Aplicação de topos em Teoria Quântica :

  • C. Flori. A First Course in Topos Quantum Theory. Springer, 2013.

  • H. Halvorson (editor). Deep Beauty: Understanding the Quantum World through Mathematical Innovation. Cambridge University Press, 2011.

  • A. Döring, C. J. Isham. “What is a Thing?”: Topos Theory in the Foundations of Physics. In: B. Coecke (editor), New Structures for Physics. Lecture Notes in Physics, vol 813. Springer, 2010.

Artigos originais :

  • J. Butterfield, C.J. Isham. A Topos Perspective on the Kochen–Specker Theorem I: Quantum States as Generalized Valuations (with C. J. Isham), International Journal on Theoretical Physics 11, 1998, 2669–2733.

  • J. Butterfield, C.J. Isham. A Topos Perspective on the Kochen–Specker Theorem II: Conceptual Aspects and Classical Analogues (with C. J. Isham), International Journal on Theoretical Physics 38, 1999, 827–859.

Tópicos da Teoria de Informação Quântica :

  • S. Abramsky, A. Brandenburger. The sheaf-theoretic structure of non-locality and contextuality. New J. Phys. 13 (113036), 2011, 1–40.