VI Escola de Física Jayme Tiomno

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Ministrante: Patrícia Ewald (IME-USP, University of Texas at Austin)

Notas de aula:

Aula 1: Essencialmente álgebra linear.
Aula 2: Vetores tangentes, campos vetoriais, covetores e k-covetores, produto wedge.
Aula 3: 1-formas e k-formas diferenciais, derivada exterior, comparação com cálculo vetorial, estrela de Hogde no R^3.
Aula 4: equações de Maxwell em formas diferenciais; intuição e exemplos de fibrados vetoriais.
Aula 5: mais comentários sobre o eletromagnetismo escrito em formas diferenciais (potenciais, transformações de gauge); definições de fibrado vetorial, conexão, curvatura e transformações de gauge, funcional de Yang-Mills e comentários históricos.

Horário: 14h às 16h (BRT)

Carga Horária Total: 10h

Objetivos: (1) Entender o formalismo de cálculo exterior para escrever as equações de Maxwell em formas diferenciais; (2) Introduzir o básico de fibrados vetoriais e conexões para escrever a equação de Yang-Mills.

Ementa: Introdução e motivação. Revisão de álgebra linear, principalmente produto interno. Espaço e base dual. Espaço tangente, espaço cotangente, campos vetoriais. Álgebra exterior: multicovetores, formas diferenciais, produto wedge, derivada exterior, estrela de Hodge. Comparação com cálculo vetorial. Equações de Maxwell em formas diferenciais. Definição formal e ideias intuitivas de fibrado vetorial e conexões. Métricas, formas diferenciais com valores em fibrados vetoriais, produto interno no espaço de k-formas. Funcional de Yang-Mills, identidade de Bianchi e equação de Yang-Mills. O eletromagnetismo como teoria de Yang-Mills. Transformações de gauge.

Pré-requisitos: Álgebra Linear I, Cálculo Diferencial e Integral III, Física III, gostar de matemática.

Bibliografia:

L. W. Tu, An introduction to manifolds, Capítulo 1.
J. Baez, J. Munian, Gauge fields, knots and gravity, Partes I e II.
R. W. R. Darling, Differential forms and connections.